Question

16．已知雙曲線C：$\frac{{y}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{2}}$=1（b＞0）的離心率為2，則C上任意一點(diǎn)到兩條漸近線的距離之積為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合雙曲線方程，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵雙曲線的離心率是2，
∴e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2+b}{2}$=4，得b=6，
則雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{2}}{6}$=1，漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，即x±$\sqrt{3}$y=0，
則C上任意一點(diǎn)P（x，y）到兩條漸近線的距離之積為d₁d₂=$\frac{|x+\sqrt{3}y|}{2}×\frac{|x-\sqrt{3}y|}{2}$=$\frac{|{x}^{2}-3{y}^{2}|}{4}$=$\frac{6}{4}$=$\frac{3}{2}$，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線的性質(zhì)和方程，利用求出雙曲線的漸近線，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式是解決本題的關(guān)鍵．