Question

12．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{{x^2}+ax+b}}{e^x}$，若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸．
（1）求b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令f′（1）=0，求出b的值即可；（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{{{x^2}+ax+b}}{e^x}$，
f′（x）=$\frac{{-x}^{2}-（a-2）x+（a-b）}{{e}^{x}}$，
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸，
∴f′（1）=-1-（a-2）+a-b=0，
解得：b=1；
（2）由（1）得：f′（x）=$\frac{-[x+（a+1）]（x-1）}{{e}^{x}}$，
令f′（x）=0，解得：x=-a-1或x=1，
①-a-1＞1即a＜-2時(shí)，
令f′（x）＞0，解得：1＜x＜-a-1，令f′（x）＜0，解得：x＞-a-1或x＜1，
∴f（x）在（-∞，1）遞減，在（1，-a-1）遞增，在（-a-1，+∞）遞減；
②-a-1=1即a=-2時(shí)，f′（x）≤0，f（x）在R遞減；
③-a-1＜1即a＞-2時(shí)，
令f′（x）＞0，解得：-a-1＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1或x＜-a-1，
∴f（x）在（-∞，-a-1）遞減，在（-a-1，1）遞增，在（1，+∞）遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．