Question

1．已知兩條直線方程：l₁：ax-y+6=0，l₂：x+ay-4=0
（1）求證：l₁與l₂的交點總在同一個圓C上．
（2）求證：無論a取何值，直線l：（a+1）x-（2a-1）y+6a-9=0恒過定點．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{ax-y+6=0}\\{x+ay-4=0}\end{array}\right.$，消去a，得x²+y²-4x-6y=0，由此能證明l₁與l₂的交點總在同一個圓C上．
（2）要證明直線過定點的問題，我們可將已知直線的方程化為關(guān)于a的一次方程的形式，然后根據(jù)方程等0恒成立，則所有系數(shù)均為0，求出定點值．

解答 證明：（1）∵兩條直線方程：l₁：ax-y+6=0，l₂：x+ay-4=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{ax-y+6=0}\\{x+ay-4=0}\end{array}\right.$，消去a，得x²+y²-4x-6y=0，
它是以（2，3）為圓心，以r=$\frac{1}{2}\sqrt{16+36}$=$\sqrt{13}$為半徑的圓，
∴l(xiāng)₁與l₂的交點總在同一個圓C上．
（2）∵直線l：（a+1）x-（2a-1）y+6a-9=0，
∴（x-2y+6）a+（x+y-9）=0，
∵直線l：（a+1）x-（2a-1）y+6a-9=0過定點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+6=0}\\{x+y-9=0}\end{array}\right.$，解得x=4，y=5．
∴無論a取何值，直線l：（a+1）x-（2a-1）y+6a-9=0過定點（4，5）．

點評 要求直線過定點的問題，我們可將已知直線的方程化為關(guān)于a的一次方程的形式，然后根據(jù)方程等0恒成立，則所有系數(shù)均為0，構(gòu)造方程組求解．