Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=|2x-1|，若不等式$f（x）≥\frac{{|{a+1}|-|{2a-1}|}}{|a|}$對任意實(shí)數(shù)a≠0恒成立，則x的取值集合是（　　）

• A． （-∞，-1]∪[3，+∞）
• B． （-∞，-1]∪[2，+∞）
• C． （-∞，-3]∪[1，+∞）
• D． （-∞，-2]∪[1，+∞）

Answer 1

分析 把f（x）看作是一個(gè)參數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為求$\frac{|a+1|-|2a-1|}{|a|}$的最大值，再把此式看作是關(guān)于a的函數(shù)，通過分段處理的方式，可獲得最值．

解答 解：∵不等式$f（x）≥\frac{{|{a+1}|-|{2a-1}|}}{|a|}$對任意實(shí)數(shù)a≠0恒成立，
∴f（x）大于或等于$\frac{|a+1|-|2a-1|}{|a|}$的最大值，
令g（a）=$\frac{|a+1|-|2a-1|}{|a|}$，則當(dāng)a≤-1時(shí)，g（a）=-1+$\frac{2}{a}$，
當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，g（a）=-3，
當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，g（a）=3，
當(dāng)a≥$\frac{1}{2}$時(shí)，g（a）=-1+$\frac{2}{a}$，
即g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{-1+\frac{2}{a}，a≤-1}\\{-3，-1＜a＜0}\\{3，0＜a＜\frac{1}{2}}\\{-1+\frac{2}{a}，a≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，∴g（a）有最大值g（$\frac{1}{2}$）=-1+$\frac{2}{\frac{1}{2}}$=3．
∴f（x）≥3，即|2x-1|≥3，解得x≤-1或x≥2．
∴x的取值集合是（-∞，-1]∪[2，+∞）．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查恒成立問題，解決本題的關(guān)鍵有兩個(gè)：（1）弄清誰是參數(shù)，（2）如何去絕對值符號，是中檔題．