Question

14．在△ABC中，∠A=θ，D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，且BE⊥CD，則cos2θ的最小值為$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 不妨設(shè)C（2，0），B（x，y），A（0，0），根據(jù)$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{CD}$=0，可得${（x-\frac{5}{2}）}^{2}$+y²=$\frac{9}{4}$，故點(diǎn)B在此圓上．過(guò)點(diǎn)A作圓的切線，故當(dāng)點(diǎn)B為切點(diǎn)時(shí)，∠A最大，即θ最大，故cosθ最小，從而求得cos2θ的最小值．

解答 解：△ABC中，∠A=θ，D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，且BE⊥CD，
如圖所示，不妨設(shè)C（2，0），B（x，y），A（0，0），
∵AD=$\frac{1}{2}$AB，AE=$\frac{1}{2}$AC，∴E（1，0），D（$\frac{x}{2}$，$\frac{y}{2}$）．
∵BE⊥CD，∴$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{CD}$=（1-x，-y）•（$\frac{x}{2}$-2，$\frac{y}{2}$）=（1-x）（$\frac{x}{2}$-2）-y•$\frac{y}{2}$=-$\frac{1}{2}$[${（x-\frac{5}{2}）}^{2}$+y²-$\frac{9}{4}$]=0，
∴${（x-\frac{5}{2}）}^{2}$+y²=$\frac{9}{4}$，表示以（$\frac{5}{2}$，0）為圓心，半徑等于$\frac{3}{2}$的圓，故點(diǎn)B在此圓上．
過(guò)點(diǎn)A作圓的切線，故當(dāng)點(diǎn)B為切點(diǎn)時(shí)，∠A最大，即θ最大，故cosθ=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{\frac{3}{2}}{2}$=$\frac{3}{4}$最小，
則cos2θ的最小值為2cos²θ-1=2×$\frac{9}{16}$-1=$\frac{1}{8}$，
故答案為：$\frac{1}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．