Question

12．在△ABC中，角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c，已知cos2C-3cos（A+B）=1．
（1）求C；
（2）若c=$\sqrt{7}$，b=3a，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用三角形內(nèi)角和定理和二倍角公式化解后因式分解，即可求解C的大小．
（2）利用余弦定理求解a，b的值，根據(jù)△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$absinC求解即可．

解答 解：（1）在△ABC中，由cos2C-3cos（A+B）=1．
可得：2cos²C-1+3cosC=1，即2cos²C+3cosC-2=0
因式分解（2cosC-1）（cosC+2）=0，
得：cosC=$\frac{1}{2}$或cosC=-2（舍去）
∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）由（1）可知C=$\frac{π}{3}$，c=$\sqrt{7}$，b=3a，
由余弦定理，得cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$⇒$\frac{1}{2}$=$\frac{{a}^{2}+9{a}^{2}-7}{2×a×3a}$
解得：a=$\sqrt{2}$，則b=3$\sqrt{2}$．
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×3\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理和二倍角公式化解能力和因式分解計(jì)算能力，余弦定理的運(yùn)用．