Question

10．設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}中，a₁=2，$\frac{1}{2}{a_3}$是3a₁與2a₂的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)為正，且b_n是$\frac{n}{a_n}$與$\frac{n}{{{a_{n+2}}}}$的等比中項(xiàng)，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；若對(duì)任意n∈N^*都有T_n＞log_m2成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由已知列式求出公比q，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（2）由b_n是$\frac{n}{a_n}$與$\frac{n}{{{a_{n+2}}}}$的等比中項(xiàng)，求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，再由錯(cuò)位相減法求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，由對(duì)任意n∈N^*都有T_n＞log_m2成立求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由題意得：a₃=3a₁+2a₂，
∴2q²=6+4q，
∴q=3或q=-1（舍去），
∴${a_n}=2•{3^{n-1}}$；
（2）∵b_n是$\frac{n}{a_n}$與$\frac{n}{{{a_{n+2}}}}$的等比中項(xiàng)，
∴${_{n}}^{2}$=$\frac{n}{a_n}$•$\frac{n}{{{a_{n+2}}}}$=$\frac{n}{2•{3}^{n-1}}•\frac{n}{2•{3}^{n+1}}=（\frac{n}{2•{3}^{n}}）^{2}$，
∴${b_n}=\frac{n}{{2•{3^n}}}$，
則${T_n}=\frac{1}{2}（\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+…+\frac{n}{3^n}）$，
$\frac{1}{3}{T_n}=\frac{1}{2}（\frac{1}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\frac{3}{3^4}+…+\frac{n}{{{3^{n+1}}}}）$，
兩式作差得：$\frac{2}{3}{T_n}=\frac{1}{2}（\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{3^n}+\frac{n}{{{3^{n+1}}}}）$=$\frac{1}{2}[\frac{{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{3^n}）}}{{1-\frac{1}{3}}}-\frac{n}{{{3^{n+1}}}}]=\frac{1}{2}（\frac{1}{2}-\frac{2n+3}{{2•{3^{n+1}}}}）$．
∴${T_n}=\frac{3}{8}-\frac{2n+3}{{8•{3^n}}}$．
∵T_n單調(diào)遞增，
∴T_n的最小值為T(mén)₁=$\frac{1}{6}$，
由${log_m}2＜\frac{1}{6}$，得$\left\{{\begin{array}{l}{0＜m＜1}\\{2＜{m^{\frac{1}{6}}}}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{m＞1}\\{2＜{m^{\frac{1}{6}}}}\end{array}}\right.$，
解得：0＜m＜1或m＞64，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，1）∪（64，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，訓(xùn)練了利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．