Question

5．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n²，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n．

Answer 1

分析 正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中，a_n+1=4a_n²，兩邊取對(duì)數(shù)可得：lga_n+1=2lg2+2lga_n，變形為：lga_n+1+2lg2=2（lga_n+2lg2），利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：∵正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中，a_n+1=4a_n²，
兩邊取對(duì)數(shù)可得：lga_n+1=2lg2+2lga_n，
變形為：lga_n+1+2lg2=2（lga_n+2lg2），
∴數(shù)列{lga_n+2lg2}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為3lg2，公比為2．
∴l(xiāng)ga_n+2lg2=3lg2×2^n-1=3×2^n-1lg2，
∴a_n=${2}^{3×{2}^{n-1}-2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．