Question

【題目】已知函數(shù)），記的導(dǎo)函數(shù)為.

（1） 證明：當(dāng)時(shí)， 在上的單調(diào)函數(shù)；

（2）若在處取得極小值，求的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，區(qū)間.若在上是單調(diào)函數(shù)，則稱在上廣義單調(diào).試證明函數(shù)在上廣義單調(diào).

Answer 1

【答案】（1）在上單調(diào)遞增.（2）（3）見解析

【解析】【試題分析】（１）借助題設(shè)條件運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系判定；（２）依據(jù)題設(shè)條件運(yùn)用極值的定義進(jìn)行分析探求；（３）構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)分析推證：

解：(1)當(dāng)時(shí)， ，即， 在上單調(diào)遞增.

(2) . ①當(dāng)時(shí)， ，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.若，則；若，則，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是，所以在處取得極小值，符合題意.②當(dāng)時(shí)， ，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.若，則；若，則，所以的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是，所以在處取得極大值，不符合題意. ③當(dāng)時(shí)， ，使得，即，但當(dāng)時(shí)， ，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即函數(shù)在單調(diào)遞減，不符合題意.綜上所述， 的取值范圍是.

（3）記. ①若，注意到，則，即， 當(dāng)時(shí)， .

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增.②若，當(dāng)時(shí)， ，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，綜上所述，函數(shù)在區(qū)間上廣義單調(diào).