Question

【題目】已知橢圓C1、拋物線(xiàn)C2的焦點(diǎn)均在x軸上，C1的中心和C2的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)O，從每條曲線(xiàn)上取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：

x	3	﹣2	4
y	﹣2	0	﹣4

（1）求C1、C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）請(qǐng)問(wèn)是否存在直線(xiàn)l滿(mǎn)足條件：①過(guò)C2的焦點(diǎn)F；②與C1交不同兩點(diǎn)M、N且滿(mǎn)足 ？若存在，求出直線(xiàn)l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)拋物線(xiàn)C2：y2=2px（p≠0），則有 ，據(jù)此驗(yàn)證4個(gè)點(diǎn)知（3，﹣2 ）、（4，﹣4）在拋物線(xiàn)上，易求C2：y2=4x

設(shè)C1： ，把點(diǎn)（﹣2，0）（ ）代入得：

解得

∴C1方程為

（2）解：容易驗(yàn)證直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，不滿(mǎn)足題意；

當(dāng)直線(xiàn)l斜率存在時(shí)，假設(shè)存在直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F（1，0），

設(shè)其方程為y=k（x﹣1），與C1的交點(diǎn)坐標(biāo)為M（x1，y1），N（x2，y2）

由 消掉y，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣1）=0，

于是 ， ①

y1y2=k（x1﹣1）×k（x1﹣1）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]

即 ②

由 ，即 ，得x1x2+y1y2=0（*），

將①、②代入（*）式，得 ，解得k=±2；

所以存在直線(xiàn)l滿(mǎn)足條件，且l的方程為：y=2x﹣2或y=﹣2x+2．

【解析】（1）設(shè)拋物線(xiàn)C2：y2=2px（p≠0），則有 ，據(jù)此驗(yàn)證4個(gè)點(diǎn)知（3，﹣2 ）、（4，﹣4）在拋物線(xiàn)上，易求C2：y2=4x，設(shè)C1： ，把點(diǎn)（﹣2，0）（ ）代入得： ，由此能夠求出C1方程．（2）容易驗(yàn)證直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)直線(xiàn)l斜率存在時(shí)，假設(shè)存在直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F（1，0），
設(shè)其方程為y=k（x﹣1），與C1的交點(diǎn)坐標(biāo)為M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），由 消掉y，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣1）=0，再由韋達(dá)定理能夠?qū)С龃嬖谥本�(xiàn)l滿(mǎn)足條件，且l的方程為：y=2x﹣2或y=﹣2x+2．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．