Question

如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面垂直，AA₁=AB=AC=2，AB⊥AC，M、N分別是CC₁、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段A₁B₁上，且

A1P

=λ

A 1B1

（1）證明：無論λ取何值，總有AM⊥PN；
（2）當(dāng)λ=

1

2

時(shí)，求平面PMN與平面ABC所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）以AB，AC，AA₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)及對應(yīng)向量的坐標(biāo)，易判斷

PN

•

AM

=0，即AM⊥PN．
（2）分別求出平面ABC的一個(gè)法向量和平面PMN的法向量，由此利用向量法能求出平面PMN與平面ABC所成銳二面角的余弦值．

解答： （1）證明：如圖，以A為原點(diǎn)，AB，AC，AA₁分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．
則P（λ，0，2），N（1，1，0），M（0，2，1），
從而

PN

=（1-λ，1，-2），

AM

=（0，2，1），

PN

•

MN

=0，∴無論λ取何值，總有AM⊥PN．
（2）平面ABC的一個(gè)法向量為

n

=（0，0，1），
當(dāng)λ=

1

2

時(shí)，P（1，0，2），M（0，2，1），N（1，1，0），

PM

=（-1，2，-1），

PN

=（1，-1，-1），
設(shè)平面PMN的法向量

m

=（x，y，z），
則

m • PM =-x+2y-z=0 m • PN =x-y-z=0

，取y=2，得

n

=（3，2，1），
設(shè)平面PMN與平面ABC所成銳二面角的平面角為θ，
cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

m • n

| m |•| n |

|=

1

14

=

14

14

，
∴平面PMN與平面ABC所成銳二面角的余弦值為

14

14

．

點(diǎn)評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．