【題目】在圓上有21個點.證明:以這些點為端點組成的所有弧中,不超過120°的弧不少于100條.
【答案】見解析
【解析】
圓上任三點分圓所成的三段弧中,至少有一段弧超過120°.將這不超過120°弧的兩個端點連上弦,這樣,圓上任意三個點中至少有兩點有弦(稱為“邊”)相連.由于這樣的“邊”與不超過120°的弧建立一一對應(yīng).所以只需證明,圓上21個點連結(jié)的“邊”不少于100即可.
設(shè)是連結(jié)“邊”數(shù)最少的那個頂點,,
是從引出的共有條“邊”.
由于每個點引出不少于條“邊”,所以,所有這些“邊“不少于條.其余個點中的任意點,它們不應(yīng)與有“邊”連結(jié).但任三點中都至少有兩個點有“邊”連結(jié),所以它們每兩個點間都有“邊”連結(jié).這樣,又得到不少于條“邊,以表記這21個點間連有“邊”的總數(shù),則.
由,的極小值點鄰近的整數(shù)為及.
在中,,
.
上述最小值是可以達(dá)到的.作圓的一條直徑.在點近旁的圓弧上取10個點,在點的近旁的圓弧上取11個點.即可合于要求.這21個點間連結(jié)有條“邊”
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱錐的底面與圓錐的底面都在平面上,且過點,又的直徑,垂足為.設(shè)三棱錐的所有棱長都是1,圓錐的底面直徑與母線長也都是1,圓錐的底面直徑與母線長也都是1.求圓錐的頂點到三棱錐的三個側(cè)面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是2020年2月1日到2月20日,某地區(qū)新型冠狀病毒疫情新增數(shù)據(jù)的走勢圖.
(Ⅰ)從這20天中任選1天,求新增確診和新增疑似的人數(shù)都超過100的概率;
(Ⅱ)從新增確診的人數(shù)超過100的日期中任選兩天,用X表示新增確診的人數(shù)超過140的天數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】證明:在任意個人中,可以找到兩個人、,使得其余個人中,至少有個人他們中的每一個,或者都認(rèn)識、;或者都不認(rèn)識、.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,過點的直線的參數(shù)方程為:(為參數(shù)), 以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線,直線與曲線分別交于兩點.
(1)寫出曲線和的普通方程;
(2)若成等比數(shù)列,求值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2020年寒假是特殊的寒假,因為疫情全體學(xué)生只能在家進(jìn)行網(wǎng)上在線學(xué)習(xí),為了研究學(xué)生在網(wǎng)上學(xué)習(xí)的情況,某學(xué)校在網(wǎng)上隨機(jī)抽取120名學(xué)生對線上教育進(jìn)行調(diào)查,其中男生與女生的人數(shù)之比為11∶13,其中男生30人對于線上教育滿意,女生中有15名表示對線上教育不滿意.
(1)完成列聯(lián)表,并回答能否有99%的把握認(rèn)為對“線上教育是否滿意與性別有關(guān)”;
滿意 | 不滿意 | 總計 | |
男生 | |||
女生 | |||
合計 | 120 |
(2)從被調(diào)查中對線上教育滿意的學(xué)生中,利用分層抽樣抽取8名學(xué)生,再在8名學(xué)生中抽取3名學(xué)生,作線上學(xué)習(xí)的經(jīng)驗介紹,其中抽取男生的個數(shù)為,求出的分布列及期望值.
參考公式:附:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 0.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),函數(shù)g(x)=2﹣f(﹣x).
(1)判斷函數(shù)g(x)的奇偶性;
(2)若x∈(﹣1,0),
①求f(x)的值域;
②g(x)<tf(x)恒成立,求實數(shù)t的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的離心率為,短軸長為2.
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)P為橢圓上頂點,點A是橢圓C上異于頂點的任意一點,直線交x軸于點M,點B與點A關(guān)于x軸對稱,直線交x軸于點N.問:在y軸的正半軸上是否存在點Q,使得?若存在,求點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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