Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為2．

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)P為橢圓上頂點(diǎn)，點(diǎn)A是橢圓C上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線(xiàn)交x軸于點(diǎn)M，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)交x軸于點(diǎn)N．問(wèn)：在y軸的正半軸上是否存在點(diǎn)Q，使得？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在點(diǎn)滿(mǎn)足題意．

【解析】

（Ⅰ）利用橢圓的幾何性質(zhì)建立方程組求解基本量得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)，寫(xiě)出直線(xiàn)的方程，求出N點(diǎn)坐標(biāo)，同理求出M點(diǎn)坐標(biāo)，利用直角三角形中正切函數(shù)的定義建立方程，結(jié)合橢圓方程即可求解．

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的焦距為，

由題可知解得．

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

設(shè)，

則直線(xiàn)的方程為．

令，得，即．

因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，所以．

則直線(xiàn)的方程為．

令，得，即．

假設(shè)存在點(diǎn)，

使得．

由，

得，即．

因?yàn)?/span>，

所以．

又，所以．

經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，．

所以在y軸的正半軸上存在點(diǎn)，

使得．