Question

17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角θ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-2，t），且sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，則實(shí)數(shù)t的值為4．

Answer 1

分析 根據(jù)三角函數(shù)的定義求出sinθ，cosθ，解方程即可得到結(jié)論．

解答 解：∵角θ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-2，t），
∴sinθ=$\frac{t}{\sqrt{4+{t}^{2}}}$，cosθ=$\frac{-2}{\sqrt{4+{t}^{2}}}$，
∵sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{t}{\sqrt{4+{t}^{2}}}$+$\frac{-2}{\sqrt{4+{t}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
即$\frac{t-2}{\sqrt{4+{t}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，則t＞2，
平方得$\frac{{t}^{2}-4t+4}{{t}^{2}+4}$=$\frac{5}{25}$=$\frac{1}{5}$，
即1-$\frac{4t}{4+{t}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，
即$\frac{4t}{4+{t}^{2}}$=$\frac{4}{5}$，
則t²-5t+4=0，
則t=1（舍）或t=4，
故答案為：4

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的值的求解，根據(jù)三角函數(shù)的定義建立方程關(guān)系進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．