Question

15．已知函數(shù)f（x）=xsinx+cosx．
（1）若x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，求函數(shù)f（x）的最大值與最小值；
（2）若x∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$），且a＜$\frac{cosx}{x}$＜b恒成立，求實(shí)數(shù)a，b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）判斷f′（x）的符號，得出f（x）的單調(diào)性，從而求出f（x）的最值；
（2）令g（x）=$\frac{cosx}{x}$，判斷g（x）的單調(diào)性，求出g（x）的最值即可得出a，b的范圍．

解答 解：（1）f'（x）=xcosx，
∴當(dāng)$x∈（-\frac{π}{2}，0）$時(shí)f'（x）＜0，當(dāng)$x∈（0，\frac{π}{2}）$時(shí)f'（x）＞0，
∴f（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]上單調(diào)遞減，在（0，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞增，
∴f（x）的最小值為f（0）=1，
又$f（\frac{π}{2}）=f（-\frac{π}{2}）=\frac{π}{2}$，∴f（x）的最大值為$\frac{π}{2}$．
（2）設(shè)$g（x）=\frac{cosx}{x}$，則$g'（x）=\frac{-xsinx-cosx}{x^2}$，
由（I），當(dāng)$x∈（\frac{π}{3}，\frac{π}{2}）$時(shí)xsinx+cosx＞0，因而g'（x）＜0，
∴$g（x）=\frac{cosx}{x}$在$x∈（\frac{π}{3}，\frac{π}{2}）$上單調(diào)遞減，
又g（$\frac{π}{2}$）=0，g（$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{2π}$，
∴$0＜g（x）＜\frac{3}{2π}$，∵$a＜\frac{cosx}{x}＜b$恒成立，
∴$a≤0，b≥\frac{3}{2π}$．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)最值的計(jì)算，屬于中檔題．