Question

7．已知函數(shù)f（x）=（ax²+x+1）e^x
（1）若曲線y=f（x）在x=1處的切線與x軸平行，求a的值，并討論f（x）的單調(diào)性；
（2）當a=0時，是否存在實數(shù)m使不等式mx+1≥-x²+4x+1和2f（x）≥mx+1恒成立？若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用導數(shù)的幾何意義求a，并利用函數(shù)的單調(diào)性和導數(shù)之間的關系求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）利用導數(shù)和函數(shù)最值之間的關系求恒成立問題．

解答 解：（1）函數(shù)的導數(shù)為f'（x）=（2ax+1）e^x+（ax²+x+1）e^x=[ax²+（2a+1）x+2]e^x，
因為曲線y=f（x）在x=1處的切線與x軸平行，
所以f'（1）=（3a+3）e=0，解得a=-1．
此時f'（x）=（-x²-x+2）e^x=-（x+2）（x-1）e^x，
由f'（x）=-（x+2）（x-1）e^x＞0，解得-2＜x＜1，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-2，1）．
由f'（x）=-（x+2）（x-1）e^x＜0，解得x＞1或x＜-2，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-2）和（1，+∞）．
（2）當a=0時，f（x）=（x+1）e^x．假設存在實數(shù)m使不等式mx+1≥-x²+4x+1和2f（x）≥mx+1對任意x∈[0，+∞）恒成立，
由mx+1≥-x²+4x+1，得x²+（m-4）x≥0恒成立，所以判別式△=（m-4）²≤0，解得m=4．
下面證明2（x+1）e^x≥4x+1恒成立．
設g（x）=2（x+1）e^x-4x-1，g'（x）=（2x+4）e^x-4，
因為g'（0）=0．當x≥0時，（2x+4）＞4，e^x＞1，所以g'（x）=（2x+4）e^x-4＞0，
所以g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
所以g（x）的最小值為g（0）=2-1=1＞0，所以g（x）＞0．
即2（x+1）e^x≥4x+1恒成立．
綜上可知：存在實數(shù)m=4使不等式mx+1≥-x²+4x+1和2f（x）≥mx+1對任意x∈[0，+∞）恒成立．

點評 本題主要考查導數(shù)的幾何意義，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值問題，考查學生的運算能力．