Question

3．第26屆世界大學生夏季運動會將于2011年8月12日到23日在深圳舉行，為了搞好接待工作，組委會在某學院招募了12名男志愿者和18名女志愿者．將這30名志愿者的身高編成如圖所示的莖葉圖（單位：cm）：
若身高在175cm以上（包括175cm）定義為“高個子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定義為“非高個子”，且只有“女高個子”才擔任“禮儀小姐”．
（1）如果用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中提取5人，再從這5人中選2人，那么至少有一人是“高個子”的概率是多少？
（2）若從所有“高個子”中選3名志愿者，用ξ表示所選志愿者中能擔任“禮儀小姐”的人數，試寫出ξ的分布列．

Answer 1

分析 （1）根據莖葉圖，有“高個子”12人，“非高個子”18人，用分層抽樣的方法選中的“高個子”有2人，“非高個子”有3人．由此利用對立事件概率計算公式能求出至少有一人是“高個子”的概率．
（2）依題意，ξ的取值為0，1，2，3．分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列．

解答 解：（1）根據莖葉圖，有“高個子”12人，“非高個子”18人，
用分層抽樣的方法，每個人被抽中的概率是$\frac{5}{30}$=$\frac{1}{6}$．
∴選中的“高個子”有12×$\frac{1}{6}$=2（人），
“非高個子”有18×$\frac{1}{6}$=3（人）．
用事件A表示“至少有一名‘高個子’被選中”，則它的對立事件$\overline{A}$表示“沒有一名‘高個子’被選中”，
則P（A）=1-$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=1-$\frac{3}{10}$=$\frac{7}{10}$．
∴至少有一人是“高個子”的概率是$\frac{7}{10}$．
（2）依題意，ξ的取值為0，1，2，3．
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{8}^{3}}{{C}_{12}^{3}}=\frac{14}{55}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{8}^{2}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{28}{55}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{8}^{1}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{12}{55}$，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{1}{55}$．
∴ξ的分布列如下：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{14}{55}$	$\frac{28}{55}$	$\frac{12}{55}$	$\frac{1}{55}$

點評 本題考查莖葉圖、分層抽樣的應用，考查離散型隨變量的分布列、數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．