Question

9．在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，b²sinC=4$\sqrt{2}$sinB，△ABC的面積為$\frac{8}{3}$，則a²的最小值為$\frac{16\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 b²sinC=4$\sqrt{2}$sinB，利用正弦定理可得：b²c=4$\sqrt{2}$b，化為：bc=4$\sqrt{2}$．△ABC的面積為$\frac{8}{3}$，可得：$\frac{8}{3}=\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×4\sqrt{2}sinA$，可得：sinA，A為銳角，cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}}A$，又a²=b²+c²-2bccosA，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵b²sinC=4$\sqrt{2}$sinB，∴b²c=4$\sqrt{2}$b，化為：bc=4$\sqrt{2}$．
∵△ABC的面積為$\frac{8}{3}$，∴$\frac{8}{3}=\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×4\sqrt{2}sinA$，
可得sinA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，A為銳角．
∴cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}}A$=$\frac{1}{3}$，
則a²=b²+c²-2bccosA≥2bc-$\frac{2}{3}$bc=$\frac{4}{3}$bc=$\frac{16\sqrt{2}}{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=$2\root{4}{2}$時(shí)取等號(hào)．
∴a²的最小值為=$\frac{16\sqrt{2}}{3}$，
故答案為：$\frac{16\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理余弦定理、三角形面積計(jì)算公式、和差公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．