Question

17．已知函數(shù)y=f（x）滿足f（x-1）=2x+3a，且f（a）=7．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若g（x）=x•f（x）+λf（x）+x在[0，2]上最大值為2，求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求解析式即可；
（2）首先化簡(jiǎn)g（x）解析式，討論二次函數(shù)的對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系得到函數(shù)最大值，求出λ．

解答 解：（1）函數(shù)y=f（x）滿足f（x-1）=2x+3a，且f（a）=7，
設(shè)x-1=t，則x=t+1，
f（t）=2（t+1）+3a，
∴f（a）=2（a+1）+3a=7，
解得a=1，
∴f（x）=2x+5．
（2）g（x）=x•f（x）+λf（x）+x
=2x²+5x+2λx+5λ+x
=2x²+（6+2λ）x+5λ，對(duì)稱軸為x=-3-λ，
所以①當(dāng)-3-λ＜0即λ＞-3時(shí)，g（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，最大值為g（2）=2=20+9λ，解得λ=-2；
②當(dāng)0≤-3-λ≤1，即-4≤λ≤-3，g（x）在[0，2]上最大值為g（2）=2=20+9λ，解得λ=-2；不合題意，舍去；
③當(dāng)1＜-3-λ≤2即-5≤λ≤-4，g（x）在[0，2]上最大值為g（0）=5λ=2，解得λ=$\frac{2}{5}$；不合題意，舍去；
④當(dāng)-3-λ＞2時(shí)即λ＜-5，g（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，最大值為g（0）=2=5λ，解得λ=$\frac{2}{5}$‘不合題意，舍去；
綜上，實(shí)數(shù)λ的值為-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的解析式的求法；考查運(yùn)算求解能力，考查討論的思想．