Question

2．已知$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow$=（cosy，siny），若y=x+$\frac{4π}{3}$，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$夾角的余弦為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由條件可以得出$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|=1$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=-\frac{1}{2}$，進(jìn)而可求出$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}=1$，從而得到$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=1$，并可求出$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$的值，從而根據(jù)向量夾角的余弦公式便可求出$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$夾角的余弦．

解答 解：根據(jù)條件：$|\overrightarrow{a}|=1$，$|\overrightarrow|=1$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=cosxcosy+sinxsiny=cos（x-y）$=$cos（-\frac{4π}{3}）=-\frac{1}{2}$；
$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow=2+$$2×（-\frac{1}{2}）$=1；
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=1$；
且$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）={\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{a}+\overrightarrow＞=\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}+\overrightarrow|}=\frac{\frac{1}{2}}{1×1}=\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 考查根據(jù)向量坐標(biāo)求向量長(zhǎng)度，數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，兩角差的余弦公式，以及數(shù)量積的運(yùn)算，向量夾角的余弦公式．