Question

14．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，直線x+2y+2=0與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，且以PQ為直徑的圓過M（2，0），求這個橢圓方程．

Answer 1

分析 由橢圓的離心率公式e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，及b²=a²-c²，求得a²=5b²，求得$\overrightarrow{MP}$=（x₁-2，y₁），$\overrightarrow{MQ}$=（x₂-2，y₂），由題意可知：$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=0，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即可求得b，即可求得橢圓方程．

解答 解：由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，即c²=$\frac{4}{5}$a²，
由b²=a²-c²=$\frac{1}{5}$a²，則a²=5b²，
∴橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{5^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，M（2，0），
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
$\overrightarrow{MP}$=（x₁-2，y₁），$\overrightarrow{MQ}$=（x₂-2，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{5^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\\{x+2y+2=0}\end{array}\right.$，9x²+20x+20-20b²=0，
△＞0，
由韋達(dá)定理可得：x₁+x₂=-$\frac{20}{9}$，x₁•x₂=$\frac{20-20^{2}}{9}$，
由題意可得：MP⊥MQ，
∴$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=$\frac{5}{4}$x₁•x₂-$\frac{3}{2}$（x₁+x₂）+5=0，整理得：b²=4，
∴a²=20，
∴橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．