Question

10．已知函數(shù)y=$\frac{1}{3}$x³-x+c的圖象與x軸恰有兩個公共點，則c=（　　）

• A． $±\frac{2}{3}$
• B． $\frac{4}{3}$或$\frac{2}{3}$
• C． -1或1
• D． $-\frac{4}{3}$或$-\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 求導函數(shù)，確定函數(shù)的單調性，確定函數(shù)的極值點，利用函數(shù)y=x³-3x+c的圖象與x軸恰有兩個公共點，可得極大值等于0或極小值等于0，由此可求c的值．

解答 解：求導函數(shù)可得y′=x²-1=（x+1）（x-1），
令y′＞0，可得x＞1，或x＜-1；令y′＜0，可得-1＜x＜1；
∴函數(shù)在（-∞，-1），（1，+∞）上單調增，（-1，1）上單調減，
∴函數(shù)在x=-1處取得極大值，在x=1處取得極小值，
∵函數(shù)y=$\frac{1}{3}$x³-x+c的圖象與x軸恰有兩個公共點，
∴極大值f（-1）等于0或極小值f（-1）等于0，
∴$\frac{2}{3}$+c=0或-$\frac{2}{3}$+c=0，∴c=±$\frac{2}{3}$，
故選：A．

點評 本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性與極值，解題的關鍵是利用極大值等于0或極小值等于0，屬于中檔題．