Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）有共同的焦點F，P為拋物線與雙曲線的一個交點，且∠PFO=

π

3

，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A、

  6

  +2
• B、

  7

  +2
• C、

  3

  +1
• D、

  3

  +2

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質,雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：F(

p

2

，0)，

p

2

=c．由∠PFO=

π

3

，可得k_PF=tan

2π

3

=-

3

，直線PF的方程為：y=-

3

(x-

p

2

)．與拋物線方程聯(lián)立可得12x²-20px+3p²=0，解得x=

p

6

，代入y²=2px，可得P(

p

6

，

3

3

p)即P(

1

3

c，

2 3

3

c)．代入雙曲線方程可得：

c2

9a2

-

4c2

3b2

=1，又b²=c²-a²，解出即可．

解答： 解：F(

p

2

，0)，

p

2

=c．
∵∠PFO=

π

3

，∴k_PF=tan

2π

3

=-

3

，
∴直線PF的方程為：y=-

3

(x-

p

2

)．
聯(lián)立

y=- 3 (x- p 2 ) y2=2px

，化為12x²-20px+3p²=0，
解得x=

p

6

，或

3

2

p（舍去）．
代入y²=2px，取y=

3

3

p，
∴P(

p

6

，

3

3

p)即P(

1

3

c，

2 3

3

c)．
代入雙曲線方程可得：

c2

9a2

-

4c2

3b2

=1，又b²=c²-a²，
化為e⁴-22e²+9=0，
解得e2=11+2

28

，
∴e=2+

7

．
故選：B．

點評：本題考查了拋物線與雙曲線的標準方程及其性質、直線與拋物線相交問題轉化為方程聯(lián)立解出坐標，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．