Question

5．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2ⁿa_n，
（1）寫出這個數(shù)列的前4項；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，a_n+1=2ⁿa_n，利用遞推關(guān)系，取n=1，2，3，即可得出．
（2）由a_n+1=2ⁿa_n，可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2ⁿ，利用“累乘求積”與等差數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=1，a_n+1=2ⁿa_n，
∴a₂=2×1=2，a₃=2²×2=8，a₄=2³×8=64．
（2）∵a_n+1=2ⁿa_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2ⁿ，
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$×$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$×…×$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$×a₁
=2^n-1×2^n-2×…×2×1
=${2}^{\frac{（n-1）×（n-1+1）}{2}}$=${2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、“累乘求積”與等差數(shù)列的求和公式、指數(shù)運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．