Question

5．（1）平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)k（k≠1）的點(diǎn)的軌跡是圓，這個(gè)圓就是阿波羅圓．設(shè)A（m，0），B（2m，0）（m≠0），動(dòng)點(diǎn)M（x，y）到點(diǎn)A、B的距離之比為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．求證動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是一阿波羅圓．
（2）設(shè)直線t（x-2）-y=0所過(guò)定點(diǎn)為P，對(duì)（1）M的軌跡在m=1時(shí)，過(guò)定點(diǎn)P作動(dòng)直線l交M的軌跡于C，D兩點(diǎn)．求△COD的面積最大時(shí)所對(duì)應(yīng)的直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{|MA|}{|MB|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得$\frac{\sqrt{（x-m）^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{（x-2m）^{2}+{y}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，將上式化簡(jiǎn)即可證明．
（2）由直線t（x-2）-y=0可知：其所過(guò)定點(diǎn)為P（2，0）．依題意可設(shè)l的方程為y=k（x-2），m=1時(shí)，圓的方程為x²+y²=2，此時(shí)要△COD的面積最大，則需∠COD=90°，亦即弦|CD|=2．利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．

解答 （1）證明：由$\frac{|MA|}{|MB|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則$\frac{\sqrt{（x-m）^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{（x-2m）^{2}+{y}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，將上式化簡(jiǎn)得x²+y²=2m²，
∴M是以原點(diǎn)為圓心，半徑為$\sqrt{2}$|m|的圓，故結(jié)論成立．
（2）解：由直線t（x-2）-y=0可知：其所過(guò)定點(diǎn)為（2，0），即P（2，0）．
依題意可設(shè)l的方程為y=k（x-2），m=1時(shí)，圓的方程為x²+y²=2，
此時(shí)要△COD的面積最大，則需∠COD=90°，亦即弦|CD|=2．
從而O到直線l的距離為1＜由1=$\frac{|0-0-2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，解得k=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以直線l的方程為y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓的相交弦長(zhǎng)問(wèn)題問(wèn)題、三角形面積、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．