Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=ax+b-xlnx（a＞0），g（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$，若直線y=e-x是曲線C：y=f（x）的一條切線，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，且f（1）=1
（I）求a，b的值．
（Ⅱ）設(shè)0＜n＜m＜1，證明：f（m）＞g（n）

Answer 1

分析 （I）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)（s，t），求得切線的斜率，由切線方程，可得a=lns，b=e-s，再由f（1）=1，可得lns-s=1-e，由y=lns-s的單調(diào)性，結(jié)合s=e＞1，即可得到a，b的值；
（Ⅱ）f（x）=x-xlnx，g（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$，由f（x）-g（x）=x（1-lnx-$\frac{2}{1+{x}^{2}}$），令h（x）=1-lnx-$\frac{2}{1+{x}^{2}}$，求出導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可得證．

解答 解：（I）f（x）=ax+b-xlnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=a-（1+lnx），
設(shè)切點(diǎn)為（s，t），可得as+b-slns=t，t=e-s，
由切線的方程y=e-x，可得a-（1+lns）=-1，即a=lns，
可得b=e-s，
由f（1）=1，可得a+b=1，即lns-s=1-e，
由lns-s的導(dǎo)數(shù)為$\frac{1}{s}$-1，可得s＞1時，函數(shù)lns-s遞減；
0＜s＜1時，函數(shù)lns-s遞增．
又s=e時，lns-s=1-e，
即有方程lns-s=1-e的解為s=e，
可得a=1，b=0；
（Ⅱ）證明：f（x）=x-xlnx，g（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$，
由f（x）-g（x）=x（1-lnx-$\frac{2}{1+{x}^{2}}$），
令h（x）=1-lnx-$\frac{2}{1+{x}^{2}}$，h′（x）=-$\frac{1}{x}$+$\frac{4x}{（1+{x}^{2}）^{2}}$=-$\frac{（1-{x}^{2}）^{2}}{x（1+{x}^{2}）^{2}}$＜0，
即有h（x）在（0，1）遞減，可得h（x）＞h（1）=0，
可得f（x）-g（x）＞0，即f（x）＞g（x），
即有0＜n＜m＜1，f（m）＞g（n）成立．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)性，考查不等式的證明，注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)，判斷單調(diào)性，考查化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．