Question

【題目】已知△ABC的兩頂點(diǎn)坐標(biāo)A（﹣1，0），B（1，0），圓E是△ABC的內(nèi)切圓，在邊AC，BC，AB上的切點(diǎn)分別為P，Q，R，|CP|=1（從圓外一點(diǎn)到圓的兩條切線段長(zhǎng)相等），動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線M．

（I）求曲線M的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線BC與曲線M的另一交點(diǎn)為D，當(dāng)點(diǎn)A在以線段CD為直徑的圓上時(shí)，求直線BC的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線的方程或.

【解析】試題分析：本題主要考查橢圓的第一定義、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的幾何意義、直線的方程、向量垂直的充要條件等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)法研究圓錐曲線的性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查運(yùn)算求解能力、綜合分析和解決問(wèn)題的能力.第一問(wèn)，利用圓外一點(diǎn)到圓的兩條切線段長(zhǎng)相等，轉(zhuǎn)化邊，得到，所以判斷出曲線是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓（挖去與軸的交點(diǎn)），利用已知求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的基本量；第二問(wèn)，根據(jù)已知設(shè)出直線的方程，直線與曲線聯(lián)立，消參得關(guān)于的方程，求出方程的2個(gè)根，并且寫出兩根之和兩根之積，因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的圓上，所以只需使，解出參數(shù)從而得到直線的方程.

試題解析：⑴解：由題知

所以曲線是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓（挖去與軸的交點(diǎn)），

設(shè)曲線： ，

則，

所以曲線： 為所求. 4分

⑵解：注意到直線的斜率不為，且過(guò)定點(diǎn)，

設(shè)，

由

消得，所以，

所以8分

因?yàn)?/span>,所以

注意到點(diǎn)在以為直徑的圓上,所以,即, 11分

所以直線的方程或為所求. 12分