Question

13．已知f（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{{e}^{x}}{e}$-3，F(xiàn)（x）=lnx+$\frac{{e}^{x}}{e}$-3x+2．
（1）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）判斷函數(shù)F（x）在（0，+∞）上零點的個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數(shù)，通過解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出函數(shù)F（x）的大致圖象，從而判斷出函數(shù)的零點的個數(shù)．

解答 解：（1）f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{{e}^{x}}{e}$=$\frac{{{x}^{2}e}^{x}-e}{{ex}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增；
（2）F′（x）=f（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{{e}^{x}}{e}$-3，
由（1）得：?x₁，x₂，滿足0＜x₁＜1＜x₂，
使得f（x）在（0，x₁）大于0，在（x₁，x₂）小于0，在（x₂，+∞）大于0，
即F（x）在（0，x₁）遞增，在（x₁，x₂）遞減，在（x₂，+∞）遞增，
而F（1）=0，x→0時，F(xiàn)（x）→-∞，x→+∞時，F(xiàn)（x）→+∞
畫出函數(shù)F（x）的草圖，如圖示：，
故F（x）的零點有3個．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．