如果一個函數(shù)f（x）在其定義區(qū)間內(nèi)對任意實數(shù)x，y都滿足f（
x+y
2
）≤
f(x)+f(y)
2
，則稱這個函數(shù)是下凸函數(shù)，下列函數(shù)：①f（x）=2x；②f（x）=x3；③f（x）=log2x（x＞0）； ④f（x）=
x，x＜0
2x，x≥0
中，是下凸函數(shù)的有
 
．
考點：函數(shù)的圖象,函數(shù)的值
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：根據(jù)函數(shù)f（x）在其定義區(qū)間內(nèi)對任意實數(shù)x，y都滿足f（
x+y
2
）≤
f(x)+f(y)
2
，可得f″（x）≥0，再對四個函數(shù)分別求導(dǎo)，即可得到結(jié)論．
解答： 解：函數(shù)f（x）在其定義區(qū)間內(nèi)對任意實數(shù)x，y都滿足f（
x+y
2
）≤
f(x)+f(y)
2
，可得f″（x）≥0，
（1）f（x）=2x，則f′（x）=2x•ln2，∴f″（x）=2x•ln22＞0，∴函數(shù)是下凸函數(shù)；
（2）f（x）=x3，則f′（x）=3x2，∴f″（x）=6x，∴函數(shù)不是下凸函數(shù)；
（3）f（x）=log2x，則f′（x）=
1
xln2
，∴f″（x）=-
1
x2ln2
＜0，∴函數(shù)不是下凸函數(shù)；
（4）x＜0時，f′（x）=1，∴f″（x）=0；x≥0時，f′（x）=2，∴f″（x）=0，∴函數(shù)是下凸函數(shù)
故答案為．①④
點評：本題考查新定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）=lg（
2
1-x
+a）是奇函數(shù)
（1）求a的值；
（2）證明f（x）在定義域上是單調(diào)函數(shù)；
（3）若f（t2-1）+f（2t-1）＞0，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

為了得到y(tǒng)=sin2x的圖象，只需將y=sin（2x+
π
3
）的圖象（　�。�
A、向右平移
π
3
個長度單位
B、向右平移
π
6
個長度單位
C、向左平移
π
6
個長度單位
D、向左平移
π
3
個長度單位

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若f（x）=
lgx，x＞0
x+
∫
a
0
3t2dt，x≤0
，f（f（1））=1，則a的值為．
A、1B、2C、-1D、-2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是有y=log2x的反函數(shù)，又g（x）=-2x+b，且f（x）與g（x）的交點為M（m，n）．
（1）判定g（x）的單調(diào)性；
（2）若m=1，定義min（a，b）=
a，(a≤b)
b，(a＞b)
，記F（x）=min{f（x），g（x）}，求其解析式及最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）=
4x
4x+a
，且f（x）的圖象過點(0，
1
2
)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）計算f（x）+f（-x）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

畫出y=
4
t
-3t的圖象，并求出最值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=ln（x-1）（x＞1）的反函數(shù)為（　�。�
A、f-1（x）=ex+1（x＞0）
B、f-1（x）=ex+1（x∈R）
C、f-1（x）=ex+1（x∈R）
D、f-1（x）=ex+1（x＞0）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

“m=1”是“?x∈（0，+∞），使得m≥x+
1
x
-1”的（　　）
A、充分而不必要條件
B、必要而不充分條件
C、充分必要條件
D、既不充分也不必要條件

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