Question

過拋物線C：y²=2px上的點(diǎn)M（4，-4）作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線MA、MB，分別交拋物線于A、B兩點(diǎn)．
（1）若|AB|=4

10

，求直線AB的方程；
（2）不經(jīng)過點(diǎn)M的動(dòng)直線l交拋物線C于P、Q兩點(diǎn)，且以PQ為直徑的圓過點(diǎn)M，那么直線l是否過定點(diǎn)？如果是，求定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不是，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出拋物線的方程，設(shè)出AB的直線方程，由弦長(zhǎng)公式可求得m；
（2）設(shè)P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出以PQ為直徑的圓，然后判斷直線l是否過定點(diǎn)即可．

解答： 解：（1）由題意可得：拋物線方程為y²=4x，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
設(shè)直線AB的方程是x=my+b，由

x=my+b y2=4x

，得y²-4my-4b=0，

y1+y2=4m y1y2=-4b

由k_AM+k_BM=0，得y₁+y₂=8，則m=2，
由弦長(zhǎng)公式|AB|=

1+m2

|y1-y2|=4

10

，得b=-2，
因此直線AB的方程是x-2y+2=0
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），以PQ為直徑的圓過點(diǎn)M，則由

MP

⊥

MQ

，
即有

MP

•

MQ

=0，
則（x₁-4）（x₂-4）+（y₁+4）（y₂+4）=0，即(

y 2 1

4

-4)(

y 2 2

4

-4)+(y1+4)(y2+4)=0，
化簡(jiǎn)，得y₁y₂-4（y₁+y₂）=32=0，
過PQ的直線為y=

4

y1+y2

(x+

y1y2

4

)=

4

y1+y2

(x+

4(y1+y2)-32

4

)=

4

y1+y2

(x-8)+4，恒過（8，4）點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線的定義、弦長(zhǎng)公式，直線過定點(diǎn)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．