Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)為和Sn ， 點(diǎn)（n， ）在直線y= x+ 上．?dāng)?shù)列{bn}滿足bn+2﹣2bn+1+bn=0（n∈N*），且b3=11，前9項(xiàng)和為153．
（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列 的前n項(xiàng)和Tn
（3）設(shè)n∈N* ， f（n）= 問是否存在m∈N* ， 使得f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點(diǎn)（n， ）在直線y= x+ 上，

∴ = n+ ，

即Sn= n2+ n，

所以a1=6，

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=n+5．

且a1=6也適合，

所以an=n+5

∵bn+2﹣2bn+1+bn=0（n∈N*），

∴bn+2﹣bn+1=bn+1﹣bn=…=b2﹣b1．

∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，

∵b3=11，它的前9項(xiàng)和為153，

設(shè)公差為d，則b1+2d=11，9b1+ ×d=153，

解得b1=5，d=3．

∴bn=3n+2

（2）解：令 ，

∴ ，

，

則 ，

∴

（3）解：當(dāng)n∈N*，f（n）= =

當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，m+15為偶數(shù)，則有3（m+15）+2=5（m+5），解得m=11

當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，m+15為奇數(shù)．若f（m+15）=5f（m）成立，m+15+5=5（3m+2），此時(shí)不成立

所以當(dāng)m=11時(shí)，f（m+15）=5f（m）

【解析】（1）由題意可得Sn= n2+ n，解可求出通項(xiàng)可求an；由bn+2﹣2bn+1+bn=0bn+2﹣bn+1=bn+1﹣bn ， 從而可得數(shù)列bn為等差數(shù)列，結(jié)合題中所給條件可求公差d，首項(xiàng)b1 ， 進(jìn)一步可求數(shù)列的通項(xiàng)．（2）由（I）可知數(shù)列 分別為等差、等比數(shù)列，對(duì)數(shù)列求和用錯(cuò)位相減，（3）當(dāng)n∈N* ， f（n）= = ，分類討論即可求出m的值．
【考點(diǎn)精析】掌握數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式是解答本題的根本，需要知道數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．