Question

已知，函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（Ⅰ）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若的最小值為，求的最小值．

 

Answer 1

（Ⅰ）的單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由于當(dāng)a=1時(shí)，，則，分別由f′（x）＞0，f′（x）＜0，進(jìn)而求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

（Ⅱ）由題意可知：恒成立，且等號(hào)可取．令轉(zhuǎn)化為方程求解．

試題解析：（Ⅰ）時(shí), ,

當(dāng)時(shí),

當(dāng)時(shí),

所以的單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為.

（Ⅱ）由題意可知:恒成立,且等號(hào)可取.

即恒成立,且等號(hào)可取.

令

故

由得到,設(shè),

當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.

在上遞減,上遞增.所以

當(dāng)時(shí), ,即,

在上,,遞減;

在上,,遞增.

所以

設(shè),

,在上遞減,所以

故方程有唯一解,即.

綜上所述,當(dāng)時(shí),僅有滿足的最小值為,

故的最小值為.

考點(diǎn)：１．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；２．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值；３．分類(lèi)討論．