（本小題滿分14分）

已知函數(shù)

(Ⅰ)請研究函數(shù)的單調(diào)性；

(Ⅱ)若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；

(Ⅲ)若定義在區(qū)間D上的函數(shù)對于區(qū)間D上的任意兩個值x1、x2總有以下不等式成立，則稱函數(shù)為區(qū)間D上的“凹函數(shù)”.若函

 

數(shù)的最小值為，試判斷函數(shù)是否為“凹函數(shù)”，并對你的判斷加以證明.

 

【答案】

解：(Ⅰ)的定義域為，.

當時，為增函數(shù)；

當時，在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù).

(Ⅱ)因為函數(shù)有兩個零點，所以由（1）知.此時方程有兩個實數(shù)根，當時，有

，令，則由，

于是，在上遞減，且；在上遞減，且；

在上遞增，且.所以，，

于是，實數(shù)的取值范圍是.

另解：因為函數(shù)有兩個零點，所以由（1）知，且為極小值，根據(jù)圖像，只需要即可.

(Ⅲ)由（1）知， ，其中.

對于任意的，因為

 

=>0，所以.

因此，函數(shù)在其定義域 內(nèi)是 “凹函數(shù)”.

【解析】略

 

練習冊系列答案
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（2011•廣東模擬）（本小題滿分14分 已知函數(shù)f(x)=
3
sin2x+2sin(
π
4
+x)cos(
π
4
+x)．
（I）化簡f（x）的表達式，并求f（x）的最小正周期；
（II）當x∈[0，
π
2
]  時，求函數(shù)f(x)的值域．

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（本小題滿分14分）設橢圓C1的方程為(a＞b＞0)，曲線C2的方程為y=，且曲線C1與C2在第一象限內(nèi)只有一個公共點P。（1）試用a表示點P的坐標；（2）設A、B是橢圓C1的兩個焦點，當a變化時，求△ABP的面積函數(shù)S(a)的值域；（3）記min{y1,y2,……,yn}為y1,y2,……,yn中最小的一個。設g(a)是以橢圓C1的半焦距為邊長的正方形的面積，試求函數(shù)f(a)=min{g(a), S(a)}的表達式。

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（本小題滿分14分）
已知=2，點（）在函數(shù)的圖像上，其中=.
(1)證明：數(shù)列}是等比數(shù)列；
（2）設，求及數(shù)列{}的通項公式；
（3）記，求數(shù)列{}的前n項和，并證明.

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 (本小題滿分14分)

某網(wǎng)店對一應季商品過去20天的銷售價格及銷售量進行了監(jiān)測統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，第天()的銷售價格(單位：元)為，第天的銷售量為，已知該商品成本為每件25元.

（Ⅰ）寫出銷售額關于第天的函數(shù)關系式；

（Ⅱ）求該商品第7天的利潤；

（Ⅲ）該商品第幾天的利潤最大？并求出最大利潤.

 

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（本小題滿分14分）已知的圖像在點處的切線與直線平行.

⑴ 求，滿足的關系式；

⑵ 若上恒成立，求的取值范圍；

⑶ 證明：（）

 

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