Question

11．若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是兩個不共線的非零向量，t∈R．
（1）若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$起點相同，求t為何值時，向量$\overrightarrow{a}$，t$\overrightarrow$，$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$的終點在一條直線上；
（2）若|$\overrightarrow{a}$|=2|$\overrightarrow$|=2，且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$是夾角為60°，那么t為何值時，|$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow$|有最�。�

Answer 1

分析 （1）令三個向量中任意兩個向量的差共線，根據(jù)向量的基本定理列出方程解出t；
（2）對|$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow$|兩邊取平方，得到關(guān)于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出最小值．

解答 解：（1）若向量$\overrightarrow{a}$，t$\overrightarrow$，$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$的終點在一條直線上，則存在λ≠0，使得$\overrightarrow{a}-t\overrightarrow$=λ（$\frac{1}{3}\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$），
即$\overrightarrow{a}-t\overrightarrow$=-$\frac{2}{3}λ$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}λ$$\overrightarrow$．∴$\left\{\begin{array}{l}{1=-\frac{2}{3}λ}\\{-t=\frac{2}{3}λ}\end{array}\right.$，解得t=1．
（2）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2×1×cos60°=1．∴|$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow$|²=t²-2t+4=（t-1）²+3，
∴當(dāng)t=1時，|$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow$|²取得最小值3，∴|$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow$|的最小值為$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，向量的基本定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．