Question

2．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，S_n=2a_n+1（n∈N^*）．
（1）試求a₂，a₃的值及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）n=1時(shí)，T₁=1．當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{1}{{a}_{n}}$=$2（\frac{2}{3}）^{n-2}$，再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=1，S_n=2a_n+1（n∈N^*），
∴當(dāng)n=1時(shí)，1=a₁=2a₂，解得a₂=$\frac{1}{2}$；
當(dāng)n=2時(shí)，a₁+a₂=2a₃，即1+$\frac{1}{2}$=2a₃，解得a₃=$\frac{3}{4}$．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n+1-2a_n，化為a_n+1=$\frac{3}{2}{a}_{n}$．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比為$\frac{3}{2}$，
∴${a}_{n}=\frac{1}{2}×（\frac{3}{2}）^{n-2}$．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{1}{2}（\frac{3}{2}）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）n=1時(shí)，T₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{1}{{a}_{n}}$=$2（\frac{2}{3}）^{n-2}$，
∴T_n=1+2×$\frac{1-（\frac{2}{3}）^{n-1}}{1-\frac{2}{3}}$=7-$6×（\frac{2}{3}）^{n-1}$．n=1時(shí)也成立．
∴T_n=7-$6×（\frac{2}{3}）^{n-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．