Question

15．以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的長(zhǎng)度單位．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tsinφ}\\{y=1+tcosφ}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，0＜φ＜π，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos²θ=4sinθ．
（1）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)φ變化時(shí)，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）把直線參數(shù)方程中的參數(shù)t消去，即可得到直線l的普通方程，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲線C的極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程；
（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合t的幾何意義求得|AB|的最小值．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=tsinφ}\\{y=1+tcosφ}\end{array}\right.$，消去t得l的普通方程xcosφ-ysinφ+sinφ=0，
由ρsin²θ=4cosθ，得（ρsinθ）²=4ρcosθ，
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得y²=4x，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²=4y；
（2）將直線l的參數(shù)方程代入y²=4x，得t²sin²φ-4tcosφ-4=0，
設(shè)A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，
則${t}_{1}+{t}_{2}=\frac{4cosφ}{si{n}^{2}φ}$，${t}_{1}{t}_{2}=\frac{-4}{si{n}^{2}φ}$．
∴|AB|=$|{t}_{1}-{t}_{2}|=\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{4}{si{n}^{2}φ}$．
當(dāng)φ=$\frac{π}{2}$時(shí)，即sin²φ=1，|AB|的最小值為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程化普通方程，考查直線參數(shù)方程中參數(shù)幾何意義的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．