Question

12．已知A，B分別為雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左右頂點(diǎn)，不同兩點(diǎn)P，Q在雙曲線上，且關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)直線AP，BQ的斜率分別為k₁，k₂，當(dāng)$\frac{2b}{a}+\frac{a}-\frac{1}{{2{k_1}{k_2}}}+ln|{k_1}|+ln|{k_2}|$取最小值時(shí)，雙曲線C的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由題意可知：-$\frac{1}{2{k}_{1}{k}_{2}}$+ln丨k₁丨+ln丨k₁丨=$\frac{1}{2{k}_{1}^{2}}$+ln${k}_{1}^{2}$，令t=${k}_{1}^{2}$，t＞0，設(shè)g（t）=$\frac{1}{2t}$+lnt，求導(dǎo)，求得函數(shù)的單調(diào)性，由t=$\frac{1}{2}$時(shí)，g（t）取最小值，由基本不等式的性質(zhì)可知$\frac{2b}{a}$+$\frac{a}$≥2$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=$\sqrt{2}$b，當(dāng)a=$\sqrt{2}$b，k₁=-k₂=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，$\frac{2b}{a}+\frac{a}-\frac{1}{{2{k_1}{k_2}}}+ln|{k_1}|+ln|{k_2}|$取最小值時(shí)，由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

解答 解：由題意可知：k₁=-k₂≠0，
∴-$\frac{1}{2{k}_{1}{k}_{2}}$+ln丨k₁丨+ln丨k₁丨=$\frac{1}{2{k}_{1}^{2}}$+ln${k}_{1}^{2}$，
令t=${k}_{1}^{2}$，t＞0，
設(shè)g（t）=$\frac{1}{2t}$+lnt，
則g′（x）=$\frac{2t-1}{2{t}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{2}$，
g′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$，
∴g（t）單調(diào)遞增區(qū)間為（$\frac{1}{2}$，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，$\frac{1}{2}$），
∴當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時(shí)，即k₁=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，g（t）取最小值，
∴$\frac{2b}{a}$+$\frac{a}$≥2$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=$\sqrt{2}$b，
∴$\frac{2b}{a}+\frac{a}-\frac{1}{{2{k_1}{k_2}}}+ln|{k_1}|+ln|{k_2}|$當(dāng)且僅當(dāng)t=$\frac{1}{2}$，a=$\sqrt{2}$b時(shí)等號(hào)，
∴$\frac{2b}{a}+\frac{a}-\frac{1}{{2{k_1}{k_2}}}+ln|{k_1}|+ln|{k_2}|$取最小值，離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查基本不等式的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．