Question

7．已知菱形ABCD，AB=2，∠BAD=$\frac{π}{3}$，半圓O所在平面垂直于平面ABCD，點P在半圓弧上．（不同于B，C）．
（1）若PA與平面ABCD所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，求出點P的位置；
（2）是否存在點P，使得PC⊥BD，若存在，求出點P的位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）過O作OM⊥BC，連接OD，則BC⊥平面ABCD，OD⊥BC．以O為原點建立坐標系，則$\overrightarrow{OM}$為平面ABCD的法向量，設∠COP=θ，求出$\overrightarrow{AP}$的坐標，令|cos＜$\overrightarrow{OM}，\overrightarrow{AP}$＞|=$\frac{\sqrt{2}}{4}$解出θ即可確定P點位置；
（2）令$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{BD}$=0解出θ，根據(jù)θ的范圍得出結(jié)論．

解答 解（1）P為圓弧中點或者靠近點B的三等分點．
連接OD，在半圓內(nèi)作OM⊥BC交圓弧于點M，則M為圓弧中點．
∵平面BCP⊥平面ABCD，平面BCP∩平面ABCD=BC，BC⊥OM，
∴OM⊥平面ABCD，
∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=$\frac{π}{3}$，
∴△BCD是等邊三角形，
∴OD⊥BC，于是OD，OC，OM兩兩垂直．
以O為原點，OD，OC，OM所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
設∠COP=θ，θ∈（0，π），則P（0，cosθ，sinθ），A（$\sqrt{3}$，-2，0），∴$\overrightarrow{AP}$=（-$\sqrt{3}$，cosθ+2，sinθ），
∵OM⊥平面ABCD，∴$\overrightarrow n=（0，0，1）$為平面ABCD的一個法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{sinθ}{\sqrt{3+（cosθ+2）^{2}+si{n}^{2}θ}}$=$\frac{sinθ}{\sqrt{8+4cosθ}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
解得$cosθ=0，或cosθ=-\frac{1}{2}$
∴$θ=\frac{π}{2}，或θ=\frac{2π}{3}$
P為圓弧中點或者靠近點B的三等分點．
（2）假設存在點P使得PC⊥BD，設∠COP=θ．
∴P（0，cosθ，sinθ），C（0，1，0），B（0，-1，0），$D（\sqrt{3}，0，0）$，
∴$\overrightarrow{BD}=（\sqrt{3}，1，0）$，$\overrightarrow{CP}=（0，cosθ-1，sinθ）$
∵PC⊥BD，∴$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{CP}=0+cosθ-1+0=0$，
解得cosθ=1，則與θ∈（0，π）矛盾，
∴在半圓弧上不存在這樣的點P使得PC⊥BD．

點評 本題考查了空間向量的應用，線面角的計算，屬于中檔題．