Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}，x∈[0，\frac{1}{2}]}\\{\frac{x}{x+2}，x∈（\frac{1}{2}，1]}\end{array}}$，g（x）=acos$\frac{πx}{2}$+5-2a（a＞0）若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，則實數(shù)a的取值范圍是[$\frac{7}{3}$，5]．

Answer 1

分析 由存在性，得到只需兩個函數(shù)的值域相交不為空集即可，所以轉(zhuǎn)換為求函數(shù)值域問題．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}，x∈[0，\frac{1}{2}]}\\{\frac{x}{x+2}，x∈（\frac{1}{2}，1]}\end{array}}$，
∴f（x）∈[0，$\frac{1}{3}$]；
∵g（x）=acos$\frac{πx}{2}$+5-2a（a＞0），當(dāng)x₂∈[0，1]時，
∴acos$\frac{πx}{2}$∈[0，a]
∴g（x）∈[5-2a，5-a]
∵存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
∴[5-2a，5-a]∩[0，$\frac{1}{3}$]≠∅，
∴只需排除[5-2a，5-a]∩[0，$\frac{1}{3}$]=∅的情況，
即5-2a＞$\frac{1}{3}$，或5-a＜0，得a＜$\frac{7}{3}$或a＞5
∴a的取值范圍是[$\frac{7}{3}$，5]．

點評 本題考查存在性問題，以及求函數(shù)值域問題．