Question

16．如圖△ABC是直角邊等于4的等腰直角三角形，D是斜邊BC的中點(diǎn)，$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$+m•$\overrightarrow{AC}$，向量$\overrightarrow{AM}$的終點(diǎn)M在△ACD的內(nèi)部（不含邊界），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)向量加法的平行四邊形法則得出M的軌跡，根據(jù)條件得出m的最大值和最小值即可．

解答 解在AB上取點(diǎn)D′，使得$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$，過(guò)D′作D′E⊥AB，交BC于E，交AD于F，
∵$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AC}$，∴$\overrightarrow{AM}$的終點(diǎn)M落在直線DE上．
過(guò)F作FM⊥AC于M，過(guò)E作EN⊥AC于N，
∴若向量$\overrightarrow{AM}$的終點(diǎn)M在△ACD的內(nèi)部（不含邊界），則M必定在線段EF上（不含端點(diǎn)）．
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=AC=4，∴AM=1，AN=3，
∴$\frac{1}{4}＜m＜\frac{3}{4}$．
故答案為：（$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量線性運(yùn)算的平行四邊形法則，屬于中檔題．