Question

10．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n+2=2a_n，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}}$，c_n=$\frac{\sqrt{_{n}_{n+1}}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n．

Answer 1

分析 （1）由n=1時(shí)，a₁=2，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n，則$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2，即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}}$=$\frac{1}{n}$，c_n=$\frac{\sqrt{_{n}_{n+1}}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，采用“裂項(xiàng)法”即可求得數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n．

解答 解：（1）由S_n+2=2a_n，n∈N^*，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁+2=2a₁，a₁=2，（1分）
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1+2=2a_n-1，
a_n=S_n-S_n=（2a_n-2）-（2a_n-1-2），
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2，（4分）
∴{a_n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2ⁿ，n∈N^*；（6分）
（2）b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}}$=$\frac{1}{n}$，（7分）
c_n=$\frac{\sqrt{_{n}_{n+1}}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\frac{\sqrt{\frac{1}{n（n+1）}}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n（n+1）}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，（10分）
數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，T_n=c₁+c₂+…+c_n=1-$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}}$-$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$=1-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，
 數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n=1-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，采用“裂項(xiàng)法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．