Question

18．已知二次函數(shù)f（x）=x²+mx+n．
（1）若f（x）是偶函數(shù)且最小值為1，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的前提下，函數(shù)$g（x）=\frac{6x}{f（x）}$，解關(guān)于x的不等式g（2^x）＞2^x；
（3）函數(shù)h（x）=|f（x）|，若x∈[-1，1]時(shí)h（x）的最大值為M，且M≥k對(duì)任意實(shí)數(shù)m，n恒成立，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用偶函數(shù)的定義和函數(shù)的最值即可求出函數(shù)的解析式，
（2）設(shè)t=2^x，t＞0，原不等式化為t＜$\sqrt{5}$，即可求出不等式的解集，
（3）分別賦值x=0，-1，1時(shí)，即可求出k的最大值．

解答 解：（1）∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），
∴x²-mx+n=x²+mx+n，
∴m=0，
∵f（x）是偶函數(shù)且最小值為1，
∴n=1
∴f（x）=x²+1，
（2）∵$g（x）=\frac{6x}{f（x）}$=$\frac{6x}{{x}^{2}+1}$，g（2^x）＞2^x，設(shè)t=2^x，t＞0，
∴$\frac{6t}{{t}^{2}+1}$＞t，
∴t²＜5，
∴t＜$\sqrt{5}$，
∴2^x＜$\sqrt{5}$，
解得x＜$\frac{1}{2}$log₂5，
故解集是$\left\{{\left.x\right|x＜\frac{1}{2}{{log}_2}5}\right\}$
（3）令x=1，則|1+m+n|≤M，則-M≤1+m+n≤M①
令x=-1，則|1-m+n|≤M，則-M≤1-m+n≤M②
令x=0，則|n|≤M，則-M≤n≤M③
由①+②-2×③得，$M≥\frac{1}{2}$．當(dāng)且僅當(dāng)$m=0，n=-\frac{1}{2}$時(shí)等號(hào)成立．
因此${k_{max}}=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)解析式的求法，以及不等式的解集，以及函數(shù)恒成立的問(wèn)題，屬于中檔題．