Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x﹣1+ （a∈R）．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的極值；
（3）當(dāng)a=1時(shí)，若直線l：y=kx﹣1與曲線y=f（x）沒(méi)有公共點(diǎn)，求k的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ，得f′（x）=1﹣ ，

∴f′（1）=1﹣ ，

由曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸，得 ，即a=e

（2）解：由f′（x）=1﹣ ，知

若a≤0，則f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在實(shí)數(shù)集內(nèi)為增函數(shù)，無(wú)極值；

若a＞0，由f′（x）=1﹣ =0，得x=lna，

當(dāng)x∈（﹣∞，lna）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（lna，+∞）時(shí)，f′（x）＞0．

∴f（x）在（﹣∞，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增

（3）解：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x﹣1+ ，令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+ ，

則直線l：y=kx﹣1與曲線y=f（x）沒(méi)有公共點(diǎn)，

等價(jià)于方程g（x）=0在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解．

假設(shè)k＞1，此時(shí)g（0）=1＞0，g（ ）=﹣1+ ＜0，

又函數(shù)g（x）的圖象連續(xù)不斷，由零點(diǎn)存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，

與“方程g（x）=0在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解”矛盾，故k≤1．

又k=1時(shí)，g（x）= ＞0，知方程g（x）=0在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解．

∴k的最大值為1

【解析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意f′（1）=0，從而可求得a的值；（2）f′（x）=1﹣ ，分①a≤0時(shí)②a＞0討論，可知f（x）在∈（﹣∞，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，從而可求其極值；（3）令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+ ，則直線l：y=kx﹣1與曲線y=f（x）沒(méi)有公共點(diǎn)，等價(jià)于方程g（x）=0在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解，分k＞1與k≤1討論即可得答案．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題．