Question

【題目】已知函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)若函數(shù)，利用上述性質(zhì)，

Ⅰ當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞增區(qū)間只需判定單調(diào)區(qū)間，不需要證明；

Ⅱ設(shè)在區(qū)間上最大值為，求的解析式；

Ⅲ若方程恰有四解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）單調(diào)遞增區(qū)間為，（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

（I）當(dāng)時(shí)，將函數(shù)寫為分段函數(shù)的形式，結(jié)合的單調(diào)性，寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.（II）對分成三種情況，結(jié)合函數(shù)的解析式，討論函數(shù)的最大值，由此求得的解析式.（III）分成兩種情況，去掉的絕對值，根據(jù)解的個(gè)數(shù)，求得的取值范圍.

解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，

的單調(diào)遞增區(qū)間為，

（Ⅱ）∵

①當(dāng)時(shí)，，

②當(dāng)時(shí)，，，

③當(dāng)時(shí)，

，

，，

當(dāng)，即時(shí)，

當(dāng)，即時(shí)，

綜上所述

（Ⅲ）時(shí)，方程為，且，其中.

若，即時(shí)，由于為增函數(shù)，故有且只有兩正解.

若，即時(shí)，由于為增函數(shù)，故無解.

所以時(shí)，方程有且只有兩正解.

時(shí)，方程為或，只需，可使有且只有兩解.

綜上所述時(shí)，恰有四解