Question

13．已知拋物線C₁：x²=2y，雙曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右頂點為A，離心率為$\sqrt{5}$，若過點A且與C₂的漸近線平行的直線恰好與C₁相切，則雙曲線的標準方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

Answer 1

分析 由離心率公式和漸近線方程，可得過點A且與C₂的漸近線平行的直線為y=$\frac{a}$（x-a），代入拋物線的方程，運用直線和拋物線相切的條件：判別式為0，解方程可得a=1，b=2，進而得到雙曲線的方程．

解答 解：由題意可得A（a，0），e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，①
雙曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
設(shè)過點A且與C₂的漸近線平行的直線為y=$\frac{a}$（x-a），
代入拋物線x²=2y，可得$\frac{1}{2}$x²-$\frac{a}$x+b=0，
由直線和拋物線相切可得△=0，即為$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$-2b=0，即為b=2a²，②
由c²=a²+b²，③，
由①②③解得a=1，b=2，c=$\sqrt{5}$，
可得雙曲線的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
故答案為：x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

點評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運用離心率公式和漸近線方程，以及直線和拋物線相切的條件：判別式為0，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．