Question

已知f（x）=

ax2+b

x

，g（x）=2lnx，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為2x-y-2=0．
（1）求a，b的值；
（2）若當(dāng)x≥1時(shí)，g（x）≤mf（x）恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：分類討論,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求切線方程可得切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，解方程可得a，b；
（2）由g（x）≤mf（x）得：2lnx≤m（x-

1

x

），即有2lnx-m（x-

1

x

）≤0，令h（x）=2lnx-m（x-

1

x

），求出導(dǎo)數(shù)，對(duì)m討論，分①當(dāng)m=0時(shí)，②當(dāng)m≤-1時(shí)，③當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，④當(dāng)0＜m＜1時(shí)，⑤當(dāng)m≥1時(shí)，判斷h（x）在x≥1時(shí)的單調(diào)性，由恒成立思想即可得到m的范圍．

解答： 解：（1）f（x）=ax+

b

x

，
導(dǎo)數(shù)f′（x）=a-

b

x2

，
由曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為2x-y-2=0，
可得f′（1）=2，f（1）=0，即a-b=2，a+b=0，
解得：a=1，b=-1；
（2）f（x）=x-

1

x

，
由g（x）≤mf（x）得：2lnx≤m（x-

1

x

），
即有2lnx-m（x-

1

x

）≤0，
令h（x）=2lnx-m（x-

1

x

），
則h′（x）=

2

x

-m（1+

1

x2

）=

-mx2+2x-m

x2

，
①當(dāng)m=0時(shí)，h′（x）=

2

x

＞0恒成立，
即h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
即有h（x）＞h（1）=0，
這與h（x）≤0矛盾，不合題意；
若m≠0，令△=4-4m²=4（1+m）（1-m），
②當(dāng)m≤-1時(shí)，△≤0恒成立且-m＞0，
即有-mx²+2x-m≥0恒成立即h′（x）≥0恒成立，
即h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
h（x）＞h（1）=0，這與h（x）≤0矛盾，不合題意；
③當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，△＞0，方程-mx²+2x-m=0有兩個(gè)不等實(shí)根x₁，x₂（不妨設(shè)x₁＜x₂），
由韋達(dá)定理得x₁•x₂=1＞0，x₁+x₂=

2

m

＜0，
即x₁＜x₂＜0，即有當(dāng)x≥1時(shí)，-mx²+2x-m≥0恒成立，即h′（x）＞0恒成立，
h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，h（x）＞h（1）=0，這與h（x）≤0矛盾，不合題意；
④當(dāng)0＜m＜1時(shí)，△＞0，方程-mx²+2x-m=0有兩個(gè)不等實(shí)根x₁，x₂（不妨設(shè)x₁＜x₂），
0＜x₁=

1- 1-m2

m

＜1，x₂=

1+ 1-m2

m

＞1
即有0＜x₁＜1＜x₂，即h（x）在（1，x₂）單調(diào)遞增，即有當(dāng)x∈（1，x₂）時(shí)，h′（x）＞0
則h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，即有h（x）＞h（1）=0，這與h（x）≤0矛盾，不合題意；
⑤當(dāng)m≥1時(shí)，△≤0且-m＜0，即有h′（x）≤0恒成立，h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
則h（x）≤h（1）=0，合題意．
綜上所述，當(dāng)m∈[1，+∞）時(shí)，g（x）≤mf（x）恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和求單調(diào)區(qū)間、極值，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，運(yùn)用分類討論的思想方法和二次方程的韋達(dá)定理及求根公式是解題的關(guān)鍵．