Question

已知函數f（x）=3^x，f（a+2）=27，g（x）=λ•2^ax-4^x的定義域是[0，1]
（1）求a的值；
（2）若函數g（x）的最大值為

1

2

，求實數λ的值；
（3）若函數g（x）在[0，1]是單調減函數，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數在閉區(qū)間上的最值,函數單調性的判斷與證明

專題：計算題,分類討論,函數的性質及應用

分析：（1）由條件可得3^a+2=27，可得a=1；
（2）g（x）=λ•2^x-4^x，設2^x=t，由于0≤x≤1，則1≤t≤2，y=-t²+λt=-（t-

λ

2

）²+

λ2

4

，1≤t≤2，討論λ＜2時，2≤λ≤4時，λ＞4函數的最大值，即可得到；
（3）運用函數的單調性的定義，任取0≤x₁＜x₂≤1，△x=x₂-x₁，即有△y=（λ•2^x₂-4^x₂）-（λ•2^x₁-4^x₁）＜0在[0，1]恒成立，由于2^x₂-2^x₁＞0，則λ-2^x₁-2^x₂＜0在[0，1]恒成立，參數分離，即可得到范圍．

解答： 解：（1）由于函數f（x）=3^x，f（a+2）=27，
則3^a+2=27，即a+2=3，即有a=1；
（2）g（x）=λ•2^x-4^x，設2^x=t，由于0≤x≤1，則1≤t≤2，
y=-t²+λt=-（t-

λ

2

）²+

λ2

4

，1≤t≤2，
當

λ

2

＜1即λ＜2時，y_max=λ-1=

1

2

，即有λ=

3

2

；
當1≤

λ

2

≤2即2≤λ≤4時，y_max=

λ2

4

=

1

2

，即λ=±

2

不成立；
當

λ

2

＞2即λ＞4時，y_max=2λ-4=

1

2

，即有λ=

9

4

不成立．
故λ=

3

2

．
（3）由（1）知，g（x）=λ•2^x-4^x，
任取0≤x₁＜x₂≤1，△x=x₂-x₁，
由于函數g（x）在[0，1]是單調減函數，
則△y=y₂-y₁＜0，
即有△y=（λ•2^x₂-4^x₂）-（λ•2^x₁-4^x₁）
=（2^x₂-2^x₁）（λ-2^x₁-2^x₂）＜0在[0，1]恒成立，
由于2^x₂-2^x₁＞0，則λ-2^x₁-2^x₂＜0在[0，1]恒成立，
即λ＜2^x₁+2^x₂在[0，1]恒成立，
由于2^x₁+2^x₂在＞2，則λ≤2，
故實數λ的取值范圍是（-∞，2]．

點評：本題考查函數的性質和運用，考查指數函數的單調性和運用，考查二次函數在閉區(qū)間上的最值問題，考查運算能力和分類討論的思想方法，屬于中檔題．