Question

已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-a|
（1）若a=1，解不等式f（x）≥2；
（2）若a＞1，?x∈R，f（x）+|x-1|≥2，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）把a=1代入函數(shù)解析式，然后求解絕對值的不等式得答案；
（2）構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）+|x-1|，寫出分段函數(shù)后求得F（x）的最小值，由最小值≥2求解實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）當a=1時，由f（x）≥2，得|x-1|≥1，解得：x≤0或x≥2．
故f（x）≥2的解集為{x|x≤0或x≥2}；
（2）令F（x）=f（x）+|x-1|，則F(x)=

-3x+2+a，x＜1 x-2+a，1≤x＜a 3x-2-a，x≥a

，
∴當x=1時，F(xiàn)（x）有最小值F（1）=a-1，
只需a-1≥2，解得a≥3．
∴實數(shù)a的取值范圍為[3，+∞）．

點評：本題考查了絕對值不等式的解法，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，訓練了分段函數(shù)最值的求法，是中檔題．