Question

1．已知函數(shù)f（x）=ax³+cx+d（a≠0）是R上的奇函數(shù)，當x=1時f（x）取得極值-2．
（1）求a，c，d的值，并求f（x）的極大值；
（2）證明對任意x₁，x₂∈（-1，1），不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜4恒成立．

Answer 1

分析 （1）由奇函數(shù)的定義利用待定系數(shù)法求得d，再由x=1時f（x）取得極值-2．解得a，c從而確定函數(shù)，再利用導數(shù)求單調(diào)區(qū)間和極大值．
（2）由（1）知，f（x）=x³-3x（x∈[-1，1]）是減函數(shù)，從而確定|f（x₁）-f（x₂）|最小值，證明即可．

解答 解：（1）由奇函數(shù)的定義，應有f（-x）=-f（x），x∈R
即-ax³-cx+d=-ax³-cx-d∴d=0，
因此，f（x）=ax³+cxf'（x）=3ax²+c，
由條件f（1）=-2為f（x）的極值，必有f'（1）=0，
故 $\left\{\begin{array}{l}{a+c=-2}\\{3a+c=0}\end{array}\right.$，解得a=1，c=-3，
因此，f（x）=x³-3x，f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）f'（-1）=f'（1）=0，
當x∈（-∞，-1）時，f'（x）＞0，故f（x）在單調(diào)區(qū)間（-∞，-1）上是增函數(shù)，
當x∈（-1，1）時，f'（x）＜0，故f（x）在單調(diào)區(qū)間（-1，1）上是減函數(shù)，
當x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0，故f（x）在單調(diào)區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，
所以，f（x）在x=-1處取得極大值，極大值為f（-1）=2；
（2）由（1）知，f（x）=x³-3x（x∈[-1，1]）是減函數(shù)，
且f（x）在[-1，1]上的最大值M=f（-1）=2，
f（x）在[-1，1]上的最小值m=f（1）=-2
所以，對任意的x₁，x₂∈（-1，1），
恒有|f（x₁）-f（x₂）|＜M-m=2-（-2）=4．

點評 本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性，考查運用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性及極值等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析和解決問題的能力．