Question

如圖，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA₁=，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊AB、AC的中點(diǎn)，
求：（1）該直三棱柱的側(cè)面積；
（2）（理）異面直線DB₁與EA₁所成的角的大小（用反三角函數(shù)值表示）
（文）異面直線DE與A₁B₁所成的角的大�。�

Answer 1

解：（1）∵在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，
∴AB=2，AC=，
∴S_側(cè)=（AB+AC+BC）AA₁=（3+）；
（2）（理）取B₁C₁的中點(diǎn)為F，連接EF，A₁F，

則B₁F∥BC，并且B₁F=BC，
因?yàn)辄c(diǎn)D、E分別是△ABC邊AB、AC的中點(diǎn)，所以DE∥BC，并且DE=BC，
所以B₁F∥DE，并且B₁F=DE，
所以四邊形B1DEF是平行四邊形，所以B₁D∥EF，
所以∠FEA₁與異面直線DB₁與EA₁所成的角相等．
取BC的中點(diǎn)為H，連接FH，EH，
因?yàn)锽C=1，AA₁=，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊AB、AC的中點(diǎn)，
所以EA₁=，A₁F=，F(xiàn)E=，
所以在△FEA₁中，由余弦定理可得：cos∠FEA₁==，
所以異面直線DB₁與EA₁所成的角的大小為arccos．
（3）（文）∵AB∥A₁B₁，∴∠ADE就是異面直線DE與A₁B₁所成的角
∵點(diǎn)D、E分別是△ABC邊AB、AC的中點(diǎn)，∠ABC=60°，
∴∠ADE=60°，
∴異面直線DE與A₁B₁所成的角為60°．
分析：（1）根據(jù)題意求出AC、AB的長，然后利用直三棱柱的側(cè)面展開圖是矩形，即可求得結(jié)果；
（2）（理）取B₁C₁的中點(diǎn)為F，連接EF，A₁F，根據(jù)題意可得：四邊形B1DEF是平行四邊形，即可得到B₁D∥EF，可得∠FEA₁與異面直線DB₁與EA₁所成的角相等，再利用余弦定理求出異面直線的夾角；
（3）（文）根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征可得：AB∥A₁B₁，進(jìn)而得到∠ADE就是異面直線DE與A₁B₁所成的角，再根據(jù)題意異面直線的夾角即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查柱體的側(cè)面積，考查了異面直線所成的角，確定異面直線所成的角是關(guān)鍵．